张朝阳的物理课 探索广义相对论下的线性引力波 之声 宇宙的声音

引言

广义相对论是爱因斯坦提出的关于引力的革命性理论。它预言了引力波的存在，即由时空弯曲的波动引起的涟漪。证明引力波的存在并不容易。

引力波的历史回顾

1916年：爱因斯坦预测引力波
爱因斯坦首次提出了引力波的概念，认为它们与电磁波类似，以光速传播。
1957年：邦迪证明引力波携带能量
邦迪通过Bondinews这一物理量，描述了引力波如何从一个源中辐射出来。
1962年：萨克斯和波多尔斯基形式化引力波
他们提出了Sachs-Goldberg公式，规范了描述引力波的方法。

韦伯棒和脉冲双星

韦伯棒：20世纪60年代，韦伯设计了韦伯棒以探测引力波，但他后来发现这些结果是噪声干扰。
脉冲双星：1974年，霍尔斯和泰勒发现了第一颗脉冲双星系统PSRB1913+16。他们观察到双星系统的轨道衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致。

激光干涉引力波天文台（LIGO）

2002年：LIGO启动
LIGO是一个大型引力波探测器，使用迈克尔孙干涉仪的原理。
2015年：首次探测到引力波
LIGO成功探测到首个引力波事件GW150914，这是两个黑洞合并产生的引力波。

引力微扰的波动方程

在弱场情形下，我们可以使用爱因斯坦方程导出引力微扰的波动方程。

步骤：

1. 对时空度规进行微扰展开：

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}

其中，$\eta_{\mu\nu}$ 是平直时空的度规，$h_{\mu\nu}$ 是微扰。

2. 代入爱因斯坦方程：

R_{\mu\nu} – \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

其中，$R_{\mu\nu}$ 是里奇曲率张量，$R$ 是里奇标量，$T_{\mu\nu}$ 是应力-能量张量。

3. 展开求解：

h_{\mu\nu} = \frac{16\pi G}{c^4} \int\frac{T_{\mu’}{}^{\nu’}}{r} d^3\overrightarrow{x}’

其中，$r$ 是源和探测器之间的距离。

4. 导出波动方程：

$$\square h_{\mu\nu} = \frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

其中，$\square$ 是达朗贝尔算符，表示：

\square = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} – \nabla^2

结论

通过上述推导，我们表明了广义相对论存在引力波，并导出了一种描述引力波的波动方程。引力波的探测开启了引力波天文学的新时代，为我们提供了探索宇宙的新途径。